Blogin tarkoituksena on käydä läpi yksinkertainen lähestymistapa brändilojaalisuuden tutkimiseen, vaikkakin taustalla lymyävä Markovin ketjujen teoria ei ole välttämättä yksinkertaista (ainakaan tilanteissa, joissa ketjujen siirtymäydin on jatkuva vrt. siirtymämatriisi). Konstruoimme esimerkkiaineiston avulla Markovin ketjun siirtymämatriisin, jonka avulla saamme laskettua lojaalisuutta kuvaavat kertoimet (tasapainojakauman todennäköisyydet). Aluksi käymme kuitenkin aineiston kimppuun.
1. Aineisto
Esimerkkiaineistona on tarkasteltu 39 asiakkaan matkapuhelimen ostokäyttäytymistä rajoittuen kolmen matkapuhelin valmistajan tuotteisiin. Aineisto sisältää asiakaskohtaisesti neljän ostokerran tiedot ostetuista puhelinmerkeistä,
Aineisto on siis hyvin yksinkertainen ja helposti muodostettavissa esimerkiksi myyntitapahtumista. ID kenttää tarvitsemme tunnistamaan asiakkaan peräkkäiset ostokerrat, ostokerrat on oltava ajallisesti järjestyksessä.
2. Markovin ketjun konstruointi
Muodostettava Markovin ketju on ajallinen prosessi, joka kuvaa puhelimien vaihtoprosessia. Markovin ketjun erityispiirre on se, että uuden ostokerran arvo (puhelimen merkki) riippuu ainoastaan edellisestä ostokerrasta, ei sitä edeltävistä. Esimerkin tapauksessa Markovin ketjun tila-avaruus on {Nokia, Samsung, Iphone}, siis mahdolliset ketjun saamat puhelinmerkkien arvot. Voimme määrittää muodostettavan ketjun alkujakauman 1. ostokerran frekvenssien perusteella (alkujakauman määrittäminen ei välttämätöntä sovellettaessa):
(17/39, 11/39, 11/39)=(0.44, 0.28,0.28),
missä 0.44 on Nokia puhelimien suhteellinen osuus, sekä 0.28 Samsungin ja Iphonen suhteelliset osuudet.
Oleellisin ketjun rakenne on siirtymämatriisi, joka kertoo puhelimien vaihtotodennäköisyydet. Kappaleen alussa mainitusta erityispiirteestä johtuen saamme konstruoitua siirtymämatriisin helposti laskemalla peräkkäisien ostokertojen siirtymien osuudet. Seuraavassa kuvassa siirtymien frekvenssit (laskettu excelillä),
Siirtymäfrekvenssien avulla saamme laskettua siirtymämatriisin arvot jakamalla sarakekohtaiset summat siirtymän alkuarvon (1. sarakkeessa Nokia) esiintymisten lukumäärällä poislukien viimeisen ostokerran lukumäärät. Koska siirtymäfrekvenssi-sarakkeita on 9 kpl tulee siirtymämatriisissa olemaan 9 solua. Siirtymämatriisi ja ketjun siirtymiä kuvaava graafi on seuraavanlainen:
Nyt olemme konstruoineet diskreetissä tila-avaruudessa kuljeskelevan Markovin ketjun. Lasketaan vielä ketjun avulla esimerkinomaisesti todennäköisyys sille että (populaation) henkilö ostaa ensimmäisellä kerralla Nokian ja viimeisellä (4. ostokerta) ostokerralla hänellä on kädessään uusi Iphone. Laskenta tapahtuu yksinkertaisesti matriisilaskennan avulla, merkataan siirtymämatriisia laskennassa A:lla:
(0.44, 0.28,0.28)*A*A*A=(0.44, 0.28,0.28)*A^3=(0.35, 0.37, 0.28),
missä *-merkki tarkoittaa matriisituloa. Nyt poimimalla syntyneen vektorin 3:n komponentin (vastaa Iphonea) saamme todennäköisyydeksi 0.28.
3. Regulaarinen Markovin ketju
Aluksi mainittakoon, että sana regulaarinen ei välttämättä ole kirjallisuudessa käytetty vastine englanninkieliselle sanalle regular. Riittävä ehto Markovin ketjun regulaarisuudelle on se, että ketjun kaikki siirtymätodennäköisyydet ovat aidosti positiivisia. Selvästi nähdään, että kyseinen ehto toteutuu viime kappaleessa konstruoidussa siirtymämatriisissa. Regulaariselle Markovin ketjulle pätee seuraava tulos:
A^n –> W, kun n kasvaa rajatta.
Rajamatriisi W on matriisi, jonka rivien alkiot ovat aidosti positiivisia ja ne summautuvat 1:ksi (voidaan tulkita siirtymämatriisiksi). Matriisin W riviä kutsutaan tasapainotilaksi. Kuten arvata saattaa, tämän kyseinen matriisin rivi kuvaa esimerkissämme lojaalisuuslukuja (todennäköisyyksiä). Saadaksemme lojaalisuutta kuvaavat luvut, riittää muodostaa siis matriisitulo A^n, riittävän suurella n,
Ylhäällä olevan kuvan perusteella siirtymämatriisimme konvergoi todella nopeasti, tuloksena saamme tasapainotilan
(0.35 , 0.37 , 0.28).
- Brändien lojaliteetit: Nokia 0.35, Samsung 0.37, Iphone 0.28.
Yksinkertaisen analyysin perusteella Samsung- ja Nokia-puhelimien omistajat ovat liki yhtä lojaaleja brändilleen, Iphonen omistajat vähiten. Lojaalisuus ilmentyy tulomatriisista A^10 kahdella tavalla: a) Nokia/Samsung puhelimen omistajat ovat keskimääräistä taipuvaisempia pysymään Nokiassa/Samsungissa, jos ovat sen valinneet, sekä b) ovat keskimääräistä taipuvaisempia palaamaan Nokiaan/Samsungiin, jos ovat niistä pois hairahtaneet.
